El Universo de Von Neumann es un concepto en teoría de conjuntos el cual fue introducido por el matemático y físico John von Neumann. Este universo se refiere a un conjunto universal que contiene todos los objetos matemáticos posibles, incluyendo números, conjuntos, funciones y relaciones.
El universo de Von Neumann también es conocido como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (abreviada NBG) es una teoría axiomática de conjuntos que se basa en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) y que añade una jerarquía adicional de clases.
La teoría de conjuntos de NBG fue desarrollada por John von Neumann, Paul Bernays y Kurt Gödel en la década de 1930, y se diferencia de la teoría de conjuntos de ZFC por la inclusión de clases propias, es decir, colecciones de objetos que no son conjuntos. Las clases propias se dividen en dos tipos: las clases internas y las clases externas. Las clases internas son aquellas que pueden ser definidas dentro de la teoría de conjuntos de NBG mediante una fórmula de la lógica de primer orden que contiene solamente variables libres y que no utiliza el símbolo de clase. Las clases externas, por otro lado, son colecciones que no pueden ser definidas de esta manera y, por lo tanto, no son elementos de la teoría de conjuntos de NBG.
La teoría de conjuntos de NBG tiene algunas ventajas sobre la teoría de conjuntos de ZFC, especialmente en relación con la definición rigurosa de los objetos matemáticos y la manipulación de las clases propias. Sin embargo, también es una teoría más compleja y menos utilizada que la teoría de conjuntos de ZFC.
En este universo $0$ en NBG, cada objeto matemático es representado por un conjunto. Por ejemplo, los números naturales, son representados por conjuntos finitos que siguen la convención de que el número $n$ se representa por el conjunto de los $n$ primeros números naturales. De esta manera, $0$ se representa por el conjunto vacío $\emptyset$, 1 se representa por el conjunto {0}, 2 se representa por el conjunto {0, 1}, y así sucesivamente.
Este enfoque permite tratar todos los objetos matemáticos como conjuntos y aplicar las leyes y reglas de la teoría de conjuntos de manera uniforme. Además, el universo de Von Neumann es utilizado en la construcción de sistemas formales y en la definición rigurosa de conceptos matemáticos, lo que lo convierte en una herramienta fundamental en la investigación matemática moderna.
En la teoría de conjuntos clásica, se construyen conjuntos a partir de objetos más simples llamados "elementos". Sin embargo, en el universo de Von Neumann, todos los objetos matemáticos son representados por conjuntos.
Una particularidad es que la teoría de Von Neumann está basada en el concepto de función, mientras que ZF está basada en el concepto de pertenencia y tiene una axiomática finita definida en particular tiene dieciocho axiomas
El universo de Von Neumann es una construcción importante en la teoría de conjuntos que permite definir los números naturales, los números ordinales y los números cardinales. A continuación, se explicara brevemente cómo se construye el universo de Von Neumann.
La construcción del universo de Von Neumann comienza con el conjunto vacío, que es el conjunto que no tiene ningún elemento. Luego, se construyen los números naturales de manera inductiva. Es decir, se define el número natural 0 como el conjunto vacío, y para cada número natural n, se define su sucesor n+1 como el conjunto {0,1,2,...,n}.
Una vez que se han construido los números naturales, se pueden definir los números ordinales y los números cardinales. Los números ordinales se utilizan para ordenar conjuntos, mientras que los números cardinales se utilizan para medir el tamaño de los conjuntos.