Algunas preguntas filosóficas
Una pregunta es si el universo de von Neumann es una descripción completa de todos los conjuntos. Algunos filósofos argumentan que no lo es, porque no incluye conjuntos que no están bien fundamentados. Otros argumentan que el universo de von Neumann es completo, porque es posible mostrar que cualquier conjunto puede ser incrustado en la jerarquía de von Neumann.
Otra pregunta es si el universo de von Neumann es único. Algunos filósofos argumentan que no lo es, porque es posible construir otros universos de conjuntos que son similares al universo de von Neumann. Otros argumentan que el universo de von Neumann es único, porque es el único universo de conjuntos que satisface los axiomas de la teoría de conjuntos.
Estas son solo algunas de las preguntas filosóficas que plantea el universo de von Neumann. No hay una sola respuesta a estas preguntas y siguen siendo objeto de debate entre filósofos y matemáticos.
Aquí hay algunas perspectivas filosóficas adicionales sobre el universo de von Neumann:
- John von Neumann argumentó que el universo de von Neumann es un modelo de la realidad. Creía que el universo de conjuntos en el que habitamos es similar al universo de von Neumann y que los axiomas de la teoría de conjuntos proporcionan una descripción verdadera de la realidad.
- Ernst Zermelo dijo que el universo de von Neumann es una construcción matemática. Creía que el universo de conjuntos no es real y que los axiomas de la teoría de conjuntos son simplemente una forma de organizar objetos matemáticos.
- Kurt Gödel demostró que el universo de von Neumann no es completo. Probó que existen conjuntos que no son elementos del universo de von Neumann, aunque satisfacen los axiomas de la teoría de conjuntos.
- Paul Cohen demostró que el universo de von Neumann no es único. Construyó otros universos de conjuntos que son similares al universo de von Neumann, pero que contienen conjuntos diferentes.
- Willard Van Orman Quine argumentó que el universo de von Neumann es una combinación de estas dos perspectivas. Creía que el universo de conjuntos es real, pero que no es igual al universo de von Neumann. Sostenía que el universo de von Neumann es una forma útil de organizar conjuntos, pero que no es una descripción completa o precisa de la realidad.
- Hilary Putnam pensaba que el universo de von Neumann es un modelo de la realidad, pero que no es el único modelo posible. Creía que existen otros modelos de realidad igualmente válidos y que el universo de von Neumann es simplemente uno de ellos.
- Saul Kripke> argumentó que el universo de von Neumann es una construcción matemática, pero que es una construcción fundamentada en la realidad. Creía que los axiomas de la teoría de conjuntos no son arbitrarios, sino que reflejan la estructura de la realidad.
- David Lewis decia que el universo de von Neumann es el único universo posible de conjuntos. Creía que los axiomas de la teoría de conjuntos son verdaderos y que describen la única forma posible en que podría estar estructurado el universo de conjuntos.
- Timothy Williamson argumentó que el universo de von Neumann es una forma útil de organizar conjuntos, pero que no es una descripción completa o precisa de la realidad. Creía que existen conjuntos que no son elementos del universo de von Neumann y que estos conjuntos son reales.
Estas son solo algunas de las perspectivas filosóficas sobre el universo de von Neumann. No hay una única respuesta a la pregunta de si el universo de von Neumann es un modelo de realidad, una construcción matemática o una combinación de estas dos perspectivas. Esta es una pregunta que sigue siendo objeto de debate entre filósofos y matemáticos.