Rango de un conjunto

El universo de von Neumann lo podemos ver a través de niveles medidos por números ordinales, como $V_{\alpha }$ y explícitamente ahí entra en juego la noción de rango, la cual nos indica qué tan complicado es un conjunto $x$ dentro del universo. Por ejemplo, es natural pensar que el conjunto $2=\left\{\mathrm{\varnothing },1\right\}$ es más complejo que $1=\left\{\mathrm{\varnothing }\right\}$ y bajo esta idea nace la función rango.

Sea $A$ una clase y $R$ una relación bien fundada en $A$ y $b\in A$, definimos el rango como:

$$\begin{array}{r}ran(b)=\bigcup \left\{S(ran(x)):x\in pre{d}_{A,R}(b)\right\}\end{array}$$

Sin embargo, como su definición es recursiva es necesario usar el Teorema de Recursión. $$\begin{array}{r}G(a,b)=\bigcup \left\{S(t):t\in Im(b)\right\}\\ \\ F(a)=G(a,F{\upharpoonright }_{pre{d}_{A,R}(a)})=\\ \\ \bigcup \left\{S(F(c)):c\in pre{d}_{A,R}(a)\right\}\end{array}$$

Al ser definido bajo una recursión transfinita, podemos decir las siguientes propiedades

   1) $ran(x)$ es un número ordinal

   2) Si $x$ es un predecesor de $y$ entonces $S(ran(x))\le ran(y)⟹ran(x)<ran(y)$

Finalmente, para ayudarnos a entender la función rango y sus propiedades es apropiado dibujarlo

Basado en el vídeo de Jesus Nieto Martinez sobre Teoria de Conjuntos