Una clase es una colección de conjuntos que cumplen una determinada propiedad. El concepto de clase surge al intentar agrupar conjuntos sin caer en la paradoja de Russell. Para definir una clase, se necesita una propiedad que describa a los objetos que pertenecen a la clase. Esta propiedad se expresa mediante una fórmula de la lógica de primer orden. Sin embargo, para que una clase sea considerada un conjunto en la teoría estándar, se debe demostrar que se puede definir como un conjunto a través de operaciones de conjuntos existentes. En otras palabras, la teoría de conjuntos estándar solo acepta conjuntos como objetos primitivos, por lo que todas las clases deben ser definibles en términos de conjuntos.
Aunque bajos los axiomas de Zermelo Frankl la noción de clase está definida de manera informal, bajo los Axiomas de Von Neumann-Gödel-Bernays (NGB) se les da un trato especial y se las trata con objetos primitivos junto a la noción de pertencia
Axiomas NGB
La axiomatizacion NGB agrega unos axiomas adicionales para tratar el universo de Von Neumann y tener una mejor definición de lo que es una clase, los cuales son
1)Axioma de comprensión de clase: Para todo conjunto $A$ y toda propiedad $P(x)$, existe la clase ${x \in A \mid P(x)}$ que contiene todos los elementos de $A$ que satisfacen $P(x)$.
2)Axioma de comprensión de clase para fórmulas de clases: Para cada fórmula de clase $\varphi(x)$, existe la clase ${x \mid \varphi(x)}$ que contiene todos los elementos $x$ que satisfacen $\varphi(x)$.
3)Axioma de separación de clase: Dada una clase $A$ y una propiedad $P(x)$, existe la clase ${x \in A \mid P(x)}$ que contiene todos los elementos de $A$ que satisfacen $P(x)$.
4)Axioma de regularidad de clase: Para toda clase no vacía $A$, existe un elemento $a \in A$ tal que $a \cap A = \varnothing$ (es decir, $a$ no tiene elementos en común con $A$).
Axioma de reemplazo de clase: Si $F$ es una función definida en algún conjunto $A$, entonces la imagen de $F$ (es decir, el conjunto ${F(x) \mid x \in A}$) es una clase.
Una clase es un conjunto si cumple el axioma de compresión, es decir se puede expresar como un elemento de alguna otra clase a partir de una fórmula lógica. De lo contrario, es una clase propia